Question

7．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}sin（\frac{π}{2}x）-1，\;x＜0\\{log_a}x，\;\;x＞0\end{array}$．若f（x）的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）．

Answer 1

分析 求出函数f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：若x＞0，则-x＜0，
∵x＜0时，f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
∴f（-x）=sin（-$\frac{π}{2}$x）-1=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
则若f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，（x＜0）关于y轴对称，
则f（-x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1=f（x），
即y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0，
设g（x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0
作出函数g（x）的图象，
要使y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0与f（x）=log_ax，x＞0的图象至少有3个交点，
则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），
即-2＜log_a5，
即log_a5＞log_aa^-2，
则5＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，
解得0＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）．

点评 本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y轴对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．