Question

【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C的离心率为，且椭圆C过点.

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）若直线l：与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；定点坐标为

【解析】

(1) 由题意结合离心率首先确定的关系,然后结合椭圆经过的点即可确定椭圆方程；

(2) 把直线的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,再利用以为直径的圆过椭圆的右顶点D,可得,即可得出与的关系,从而得出答案.

解：(1)由题意设椭圆的标准方程为（），,椭圆C过点,,解得

∴椭圆的标准方程为.

（2）设，，直线代入椭圆方程得

得，

，即，则

,.

又，

因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，

∴，即，∴，

∴，∴.

解得，，且均满足，

当时，l的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，l的方程为，直线过定点.

所以，直线l过定点，定点坐标为.