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    【题目】已知函数，其中为自然对数的底数．

    （1）讨论函数的单调性；

    （2）设函数，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．

    【答案】（1）见解析；（2）

    【解析】

    （1）对求导，得到，分别讨论和情况下的正负，从而得到函数的单调性. （2）由条件可得，分析的单调性，得到的最小值，令可求得的范围.

    （1）∵

    ∴函数的定义域为，且

    若时 则，从而函数在上单调递增

    若时 令，解得，令，解得，

    从而函数在上单调递减，在上单调递增

    （2）由（1）知，所以 则

    若时 则，从而函数在上单调递增

    于是在上至多只有一个零点与题意不符

    从而（舍去）

    若时 令，解得，令，解得，

    从而函数在上单调递减，在上单调递增

    则

    由函数有两个不同的零点

    则 解得

    当时，，

    从而 函数有两个不同的零点

    综上所述：

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    （1）求证：

    （2）若函数的图象与直线没有交点，求实数的取值范围；

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    （1）求的值；

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    A.充分不必要条件B.必要不充分条件

    C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

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    【题目】已知函数，记在点处的切线为.

    （1）当时，求证：函数的图像（除切点外）均为切线的下方；

    （2）当时，求的最小值.

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    【题目】一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：

    转速x(转/秒)

    2

    4

    5

    6

    8

    每小时生产有缺点的零件数y(件)

    30

    40

    60

    50

    70

    （1）画散点图；

    （2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；

    （3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(参考数值：)

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    【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C的离心率为，且椭圆C过点.

    （1）求椭圆C的标准方程：

    （2）若直线l：与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.

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