Question

【题目】已知函数

（1）求证：

（2）若函数的图象与直线没有交点，求实数的取值范围；

（3）若函数，则是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据，结合对数运算法则整理即可；

（2）函数的图象与直线没有交点，可转化为方程无解，进而转为函数的图象与直线y=a无交点，即可求出结果；

（3）先将化简整理，再由换元法处理即可.

（1）证明：；

（2）若函数的图象与直线没有交点，

则方程无解，即方程无解．

令，

则在上是单调减函数，又，所以，

因为函数的图象与直线y=a无交点

；

（3）由题意函数 ，

令，则，，

函数的图象开口向上，对称轴为直线，

故当，即时，当时，函数取最小值，解得：，

当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），

当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），

综上所述，存在满足条件．