Question

【题目】已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）= 给出下列结论： ①函数f（x）的值域为（0，8]；
②对任意的n∈N，都有f（2n）=23﹣n；
③存在k∈（ ， ），使得直线y=kx与函数y=f（x）的图象有5个公共点；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在n∈N，使得（a，b）（2n ， 2n+1）”
其中正确命题的序号是（ ）
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①当1≤x＜2时，f（x）=﹣8x（x﹣2）=﹣8（x﹣1）2+8∈（0，8]， ②∵f（1）=8，
∴f（2n）= f（2n﹣1）= f（2n﹣2）= f（2n﹣3）=…= f（20）= f（1）= ×8=23﹣n ， 故②正确，
③当x≥2时，f（x）= f（ ）∈0，4]，故函数f（x）的值域为（0，8]；故①正确，
当2≤x＜4时，1≤ ＜2，则f（x）= f（ ）= [﹣8（ ﹣1）2+8]=﹣4（ ﹣1）2+4，
当4≤x＜8时，2≤ ＜4，则f（x）= f（ ）= [﹣4（ ﹣1）2+4]=﹣2（ ﹣1）2+2
作出函数f（x）的图象如图：
作出y= x和y= x的图象如图，

当k∈（ ， ），使得直线y=kx与函数y=f（x）的图象有3个公共点；故③错误，
④由分段函数的表达式得当x∈（2n ， 2n+1）时，函数f（x）在（2n ， 2n+1）上为单调递减函数，
则函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在n∈N，使得（a，b）（2n ， 2n+1）”为真命题．，故④正确，
故选：C
①根据分段函数的表达式结合函数的最值进行求解判断，
②利用f（2n）= f（1）进行求解判断，
③作出函数f（x）和y=kx的图象，利用数形结合进行判断，
④根据分段函数的单调性进行判断．