【题目】已知函数,
,其中a为常数.
当
时,设函数
,判断函数
在
上是增函数还是减函数,并说明理由;
设函数
,若函数
有且仅有一个零点,求实数a的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2),
【解析】
代入a的值,求出
的解析式,判断函数的单调性即可;
由题意把函数
有且仅有一个零点转化为
有且只有1个实数根,通过讨论a的范围,结合二次函数的性质得到关于a的不等式组,解出即可.
(1)由题意,当时,
,则
,
因为,又由
在
递减,
所以在
递增,
所以根据复合函数的单调性,可得函数在
单调递增函数;
由
,得
,即
,
若函数有且只有1个零点,
则方程有且只有1个实数根,
化简得,
即有且只有1个实数根,
时,
可化为
,即
,
此时,满足题意,
当
时,由
得:
,解得:
或
,
当
即
时,方程
有且只有1个实数根,
此时,满足题意,
当
即
时,
若是
的零点,则
,解得:
,
若是
的零点,则
,解得:
,
函数
有且只有1个零点,所以
或
,
,
综上,a的范围是,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的一个上界.已知函数
,
.
(1)若函数为奇函数,求实数
的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在区间
上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在
上是以3为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校高一年级共有20个班,为参加全市的钢琴比赛,调查了各班中会弹钢琴的人数,并以组距为5将数据分组成时,作出如下频率分布直方图.
(Ⅰ)由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值;
(Ⅱ)若会弹钢琴的人数为的班级作为第一备选班级,会弹钢琴的人数为
的班级作为第二备选班级,现要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛,求这两类备选班级中均有班级被选中的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}满足 an≤an+1≤3an , n∈N* , a1=1.
(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围;
(2)设{an}是公比为q的等比数列,Sn=a1+a2+…an , 若 Sn≤Sn+1≤3Sn , n∈N* , 求q的取值范围.
(3)若a1 , a2 , …ak成等差数列,且a1+a2+…ak=1000,求正整数k的最大值,以及k取最大值时相应数列a1 , a2 , …ak的公差.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)= 给出下列结论: ①函数f(x)的值域为(0,8];
②对任意的n∈N,都有f(2n)=23﹣n;
③存在k∈( ,
),使得直线y=kx与函数y=f(x)的图象有5个公共点;
④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在n∈N,使得(a,b)(2n , 2n+1)”
其中正确命题的序号是( )
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④
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