Question

【题目】已知数列{an}满足 an≤an+1≤3an ， n∈N* ， a1=1．
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an ， 若 Sn≤Sn+1≤3Sn ， n∈N* ， 求q的取值范围．
（3）若a1 ， a2 ， …ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1 ， a2 ， …ak的公差．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意： ，

∴ ；又

∴3≤x≤27，

综上可得：3≤x≤6

（2）解：由已知得， ， ，

∴ ，

当q=1时，Sn=n， Sn≤Sn+1≤3Sn，即 ，成立．

当1＜q≤3时， ， Sn≤Sn+1≤3Sn，即 ，

∴

不等式

∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n=1，

得q2﹣3q+2≤0，

解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，

∴qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，

∴1＜q≤2，

当 时，

， Sn≤Sn+1≤3Sn，即 ，

∴此不等式即 ，

3q﹣1＞0，q﹣3＜0，

3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，

qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0

∴ 时，不等式恒成立，

上，q的取值范围为：

（3）解：设a1，a2，…ak的公差为d．由 ，且a1=1，

得

即

当n=1时，﹣ ≤d≤2；

当n=2，3，…，k﹣1时，由 ，得d≥ ，

所以d≥ ，

所以1000=k ，即k2﹣2000k+1000≤0，

得k≤1999

所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…ak的公差为﹣

【解析】（1）依题意： ，又 将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项： ，由 求出 ，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式 Sn≤Sn+1≤3Sn ， 得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1 ， a2 ， …ak的公差．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对等比数列的基本性质的理解，了解{an}为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列．