Question

6．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PC为球O的直径，且PC⊥OA，PC⊥OB，△AOB为等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为$\frac{{6\sqrt{3}}}{3}$，则球O的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 8π
• C． 12π
• D． 16π

Answer 1

分析 欲求球O的表面积，关键是求出球的半径r．利用截面的性质即可得到三棱锥P-ABC的体积可看成是两个小三棱锥P-ABO和C-ABO的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题．

解答 解：设球心为O，球的半径r．
∵PC⊥OA，PC⊥OB，∴PC⊥平面AOB，
三棱锥P-ABC的体积可看成是两个小三棱锥P-ABO和C-ABO的体积和．
∴V_{三棱锥P-ABC}=V_{三棱锥P-ABO}+V_{三棱锥C-ABO}=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×r²×r×2=$\frac{6\sqrt{3}}{3}$，
∴r=1，
∴球O的表面积为4π．
故选A．

点评 本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定三棱锥P-ABC的体积可看成是两个小三棱锥P-ABO和C-ABO的体积和．