Question

已知已知函数f(x)=

x

2x+1

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（Ⅱ）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，试比较2S_n与1的大小．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得，an+1=

an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

1

an

+2，即

1

an+1

-

1

an

=2．
∴数列{

1

an

}是首项，公差d=2的等差数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

an

=1+(n-1)×2=2n-1，
∴an=

1

2n-1

(n∈N*)，（8分）
∴anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，（10分）
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃++a_na_n+1=

1

1×3

+

1

3×5

++

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．（14分）
∴2Sn-1=

2n

2n+1

-1=

-1

2n+1

＜0（n∈N^*），∴2S_n＜1．（16分）