Question

已知函数f(x)=

x

ax-1

的图象过点（2，2）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g(x)=

1

x

，则g(x)的图象经过怎样的变换可与函数f（x）的图象重合；
（3）设函数h（x）=f（x）•g（x），求h（x）在（1，5]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知函数f(x)=

x

ax-1

的图象过点（2，2），构造关于a的方程，解方程即可求出a值，进而得到函数f（x）的解析式；
（2）利用函数的图象变换法则，分析g(x)=

1

x

与f （x）=

x

x-1

解析式的关系，即可得到平移变换的方法；
（3）由（1），（2）函数的解析式，我们易求出函数h（x）=f（x）•g（x）的解析式，根据反比例函数的性质，分析出函数在区间（1，5]上的单调性，即可得到h（x）在（1，5]上的最小值．

解答：解：（1）∵f （x）=

x

ax-1

的图象过点（2，2）
∴

2

2a-1

=2，解得：a=1；
∴f （x）=

x

x-1

，
（2）又f （x）=

(x-1)+1

x-1

=1+

1

x-1

，
∴可将g （x）=

1

x

的图象向右平移一个单位，得到y=

1

x-1

的图象，然后再把y=

1

x-1

的图象向上平移一个单位，即可与f （x）的图象重合；
（3）h （x）=f （x）•g （x）=

x

x-1

•

1

x

=

1

x-1

，由图象可知，
函数h （x）在（1，5]上是减函数，
∴h （x）的最小值是h （5）=

1

4

．

点评：本题考查的知识点是函数图象的变换法则，函数的解析式的求法，函数的最值，其中（1）的关键是根据已知构造关于a的方程，（2）的关键是利用分离常数法，化简函数f（x）的解析式，（3）的关键是分析函数在区间（1，5]上的单调性．