Question

ABCD为平行四边形，P为平面ABCD外一点，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=

3

．
（1）求证：平面ACD⊥平面PAC；
（2）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（3）设二面角A-PC-B的大小为θ，试求tanθ的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中，PA⊥面ABCD，结合面面垂直的判定定理，我们易得平面ACD⊥平面PAC；
（2）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，则OE∥PC，则直线PC与BD所成角等于直线OE与BD所成角，解三角形OEB，即可得到答案．
（3）A作AE⊥PC交PC于E，过E作EF⊥PC交PB于F，连接AE．则二面角A-PC-B的平面角为∠AEF，解三角形AEF，即可得到答案．

解答：证明：（1）∵PA⊥面ABCD，
PA?平面PAC
∴平面ACD⊥平面PAC；
解：（2）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE如图所示：

∵O为BD的中点，则EO=

1

2

PC=

1

2

PA2+AC2

=

7

2

，且OE∥PC
又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=

3

．
∴OB=

1

2

BD=

5

2

，BE=

2

∴|cos∠EOB|=|

OE2+OB2-BE2

2OE•OB

|=

3

7

；
即异面直线PC与BD所成角的余弦值为

3

7

；
（3）过A作AE⊥PC交PC于E，过E作EF⊥PC交PB于F，连接AE．则二面角A-PC-B的平面角为∠AEF即∠AEF=θ．
在Rt△APC中，PC=

7

，∴AE=

AP•AC

PC

=

2 3

7

，PE=

PA2-AE2

=

4

7

，
在△PBC中，PB=

5

，BC=2，∴cos∠BPC=

PC2+PB2-BC2

2PC•PB

=

4

35

，
在Rt△PEF中，tan∠EPF=

19

4

，∴EF=PE•tan∠EPF=

19

7

在△PAF中，PF=

PE2+EF2

=

5

，cos∠FPA=

PA

PB

=

2

5

，∴AF=1，
在△AEF中，cosθ=

2 3

19

，∴tanθ=

21

6

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，二面角的平面角及求示，其中求二面角，关键是要找到二面角的平面角，将空间问题转化为一个平面解三角形的问题．