Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）由O为AC中点，M为PD中点．结合平行四边形的对角线性质，考虑连接BD，MO，则有PB∥MO，从而可证
（II）由∠ADC=45°，且AD=AC=1，易得AD⊥AC，PO⊥AD，根据线面垂直的判定定理可证
（III）取DO中点N，由PO⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，从而可得∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△ANM中求解即可

解答：解：（I）证明：连接BD，MO
在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，
所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO
因为PB?平面ACM，MO?平面ACM
所以PB∥平面ACM
（II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC
又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC
（III）解：取DO中点N，连接MN，AN
因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN=

1

2

PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中，AD=1，AO=

1

2

，所以DO=

5

2

，
∴AN=

1

2

DO=

5

4

，MN=

1

2

PO=1
在Rt△ANM中，tan∠MAN=

MN

AN

=

1

5 4

=

4 5

5

即直线AM与平面ABCD所成的正切值为

4 5

5

点评：本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力、推理论证能力．