Question

10．设函数f（x）定义域为R，对任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，0＜f（x）＜1
（1）求证：f（0）=1，且x＜0时，f（x）＞1
（2）证明f（x）为R上的减函数；
（3）设A={（x，y）|f（x²-y）=f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y-2）=1，a∈R}，若A∩B=∅
求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，令x=1，y=0即可求得f（0）的值；令y=-x，结合条件当x＞0时，0＜f（x）＜1，即可得到结论．
（2）利用函数单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用抽象表达式和已知函数性质证明f（x₁）＞f（x₂），即可得证；
（3）根据函数的单调性，将集合A，B转化为直线和抛物线的相交问题，利用消元法转化为判别式△＜0，进行求解即可．

解答 证明：（1）令x=1，y=0，
则f（1+0）=f（1）•f（0）=f（1），
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1
∴f（0）=1，
若x＜0，则-x＞0，0＜f（-x）＜1，
则f（x-x）=f（x）f（-x）=f（0）=1，
∴$f（x）=\frac{1}{f（-x）}$，
∴f（x）＞1，x＜0．
（2）对任意的x₁，x₂∈R，当x₁＜x₂时，有f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）（f（x₁-x₂）-1），
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
∴由（1）得f（x₁-x₂）＞1，
即f（x₁-x₂）-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是单调递减函数．
（3）∵f（x）在R上是单调递减函数．f（0）=1，
∴由f（x²-y）=f（1）得，x²-y=1，即x²=1+y，
由f（ax-y-2）=1=f（0），a∈R，
得ax-y-2=0，即y=ax-2，
若A∩B=∅，则直线和抛物线没有公共点，
则将y=ax-2代入x²=1+y得x²=1+ax-2，
即x²-ax+1=0，
则判别式△=a²-4＜0，
解得-2＜a＜2，
故实数a的取值范围是（-2，2）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数的单调性的定义是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．