Question

如图：正四面体MBCD的棱长为2，AB⊥平面BCD，AB=

6

3

．
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面MBC的法向量，利用d=

| n • BA |

| n |

=

2

3

．求出点A到平面MBC的距离；
（2）求出平面ACM的法向量，又平面BCD的法向量

n2

=(0，0，1)，利用向量的数量积公式求出两个法向量的夹角余弦，进一步求出平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

解答：解：（1）△BCD为正三角形，取CD的中点E，则BE⊥CD，
又AB⊥平面BCD，，则以B为原点，过B作l∥CD为x轴，BE为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，
有B（0，0，0），C（1，

3

，0），M（0，

2 3

3

，

6

3

），A（0，0，

6

3

）
设平面MBC的法向量为

n

=(x，y，z)，

BM

=(0，

2 3

3

，

6

3

），

BC

=(1，

3

，0)
所以

n • BM = 2 3 3 y+ 6 3 z=0 n • BC =x+ 3 y=0

解得

n

=(

3

，-1，

2

)

BA

=(0，0，

6

3

)
设点A到平面MBC的距离为d则d=

| n • BA |

| n |

=

2

3

．
（2）因为

CM

=(-1，-

3

3

，

6

3

)，

CA

=(-1，-

3

，

6

3

)，
设平面ACM的法向量为

n1

=(x，y，z)
则有

n1 • CM =-x- 3 3 y+ 6 3 z=0 n1 • CA =-x- 3 y+ 6 3 z=0

解得

n1

=(

6

，0，3)
又平面BCD的法向量

n2

=(0，0，1)
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

15

5

设平面ACM与平面BCD所成二面角的所成的角为θ
所以sinθ=

1-( 15 5 )2

=

10

5

点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．