分析：（I）函数f（x）=x
3+
在（0，+∞）上有下界32．利用导数或基本不等式求极小值能够进行判断．
（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，?常数B，都有f（x）≤B成立，则称函数f（x）在D上有上界，其中B称为函数的上界．利用函数
f(x)=x3+在（-∞，0）上有下界及其奇偶性即可得出结论；
（Ⅲ）求导
f′(x)=3ax2-，利用导数研究其单调性，再对字母m的值进行分类讨论，即可得到函数
f(x)=ax3+是[m，n]上的有界函数．
解答：解：（Ⅰ）
解法1：∵
f′(x)=3x2-，由f'（x）=0得
3x2-=0，x
4=16，∵x∈（0，+∞），
∴x=2，-----------------------------（2分）
∵当0＜x＜2时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，2）上是减函数；
当x＞2时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在（2，+∞）上是增函数；
∴x=2是函数的在区间（0，+∞）上的最小值点，
f(x)min=f(2)=8+=32∴对?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，------------------------------------（4分）
即在区间（0，+∞）上存在常数A=32，使得对?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函数
f(x)=x3+在（0，+∞）上有下界．-----------------------------（5分）
[解法2：∵x＞0∴
f(x)=x3+=x3+++≥4=32当且仅当
x3=即x=2时“=”成立
∴对?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
即在区间（0，+∞）上存在常数A=32，使得对?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函数
f(x)=x3+在（0，+∞）上有下界．]
（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：
定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，?常数B，都有f（x）≤B成立，则称函数f（x）在D上有上界，其中B称为函数的上界．------------------------------（7分）
设x＜0，则-x＞0，由（Ⅰ）知，对?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
∴f（-x）≥32，∵函数
f(x)=x3+为奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）≥32，∴f（x）≤-32
即存在常数B=-32，对?x∈（-∞，0），都有f（x）≤B，
∴函数
f(x)=x3+在（-∞，0）上有上界．----------------------------（9分）
（Ⅲ）∵
f′(x)=3ax2-，
由f'（x）=0得
3ax2-=0，∵a＞0，b＞0
∴
x4=，∵[m，n]?（0，+∞），∴
x=，--------------------------------（10分）
∵当
0＜x＜时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，
）上是减函数；
当
x＞时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在（
，+∞）上是增函数；
∴
x=是函数的在区间（0，+∞）上的最小值点，
f()=a()3+=------------------------------（11分）
①当
m≥时，函数f（x）在[m，n]上是增函数；
∴f（m）≤f（x）≤f（n）
∵m、n是常数，∴f（m）、f（n）都是常数
令f（m）=A，f（n）=B，
∴对?x∈[m，n]，?常数A，B，都有A≤f（x）≤B
即函数
f(x)=ax3+在[m，n]上既有上界又有下界-------------------------（12分）
②当
n≤时函数f（x）在[m，n]上是减函数
∴对?x∈[m，n]都有f（n）≤f（x）≤f（m）
∴函数
f(x)=ax3+在[m，n]上有界．-------------------------（13分）
③当
m＜＜n时，函数f（x）在[m，n]上有最小值f（x）
min=
f()=a()3+=令
A=，令B=f（m）、f（n）中的最大者
则对?x∈[m，n]，?常数A，B，都有A≤f（x）≤B
∴函数
f(x)=ax3+在[m，n]上有界．
综上可知函数
f(x)=ax3+是[m，n]上的有界函数--------------------（14分）
（2007•揭阳二模）已知函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）的图象如右图示，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=g（x）的解析式为（ ）