Question

已知向量

a

=（cosωx，

3

sin（π-ωx）），

b

=（cosωx，sin（

π

2

+ωx）），（ω＞0），函数f（x）=2

a

•

b

+1的最小正周期为2．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，

1

2

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（ωx+

π

6

）+2，根据它的最小正周期等于2求出ω的值．
（2）根据x∈[0，

1

2

]，可得 πx+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，求出sin（πx+

π

6

）的范围，即可求得函数的值域．

解答：解：（1）函数f（x）=2

a

•

b

+1=2[cos²（ωx）+

3

sinωx•cosωx]+1
=2•

1+cos2ωx

2

+2•

3

2

sin2ωx+1=2sin（2ωx+

π

6

）+2，
由于它的最小正周期等于2，故有

2π

2ω

=2，∴ω=

π

2

，
故f（x）=2sin（ πx+

π

6

）．
（2）∵x∈[0，

1

2

]，∴πx+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，∴

1

2

≤sin（ πx+

π

6

）≤1，
∴3≤2sin（1+

π

6

）+2≤4，故函数的值域为[3，4]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．