Question

已知：如图△ABC是边长为2的等边三角形，PC⊥面ABC，且PC=2，D是AP上一动点，

（1）D在运动过程中，是否有可能使得AP⊥面BCD？请说明理由；

（2）若D是AP的中点，求：

①异面直线CD与PB所成的角；

②直线BD与面PBC所成的角.

Answer 1

解：取AC的中点E，连结DE、BE则DE∥PC，BE⊥AC，?

∴DE⊥面ABC.?

如图建立的空间坐标系E—xyz,?

DE=PC=,BE=.?

∴A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),P(0,1,2),D(0,0, )?

(1) =(0,2,),=(-,1,0),?

∴=2≠0,∴AP不垂直于BC，∴AP不可能垂直面DBC，即不存在D点，使得AP⊥面DBC.?

(2)①=(-,1,2),=(0,-1,)，?

∴cos〈,〉==，?

∴PB与CD所成的角为60°.?

②设n=（x₀,y₀,z₀）是平面PBC的法向量，=（0，0，2），?

则n·=0，且n=0，∴

令y₀=-,则∴n=(-1,-,0).?

又=(-,0, ),?

∴cos〈n,〉===.?

∴直线BD与面PBC所成的角为arcsin.