Question

【题目】如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，求：

（1）直线与直线所成角的余弦值；

（2）平面与平面所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）以 {，，} 为正交基底建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；

（2）求出平面D1AC的一个法向量和平面ABB1A1的一个法向量，利用向量法能求出平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．

(1)如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，

故以 为正交基底建立空间直角坐标系．

则，，，

， ．

（1）因为 ，

，

所以，

，，

从而．

又异面直线所成的角的范围是，

所以直线与直线所成角的余弦值为．

（2），，

设平面的一个法向量为，

则从而即

取，可得，，即．

在正四棱柱中，平面，

又，

所以为平面的一个法向量．

因为，且，，

所以．

因此平面与平面所成二面角的正弦值为．