Question

（本小题满分14分）如图9-3，已知：射线OA为y=kx(k>0，x>0)，射线OB为y= －kx(x>0)，动点P(x，y)在∠AOx的内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四边形ONPM的面积恰为k.

   （1）当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；

   （2）根据k的取值范围，确定y=f(x)的定义域.

Answer 1

解：（1）设M(a，ka)，N(b，-kb)，(a>0，b>0)。

则|OM|=a，|ON|=b。

由动点P在∠AOx的内部，得0<y<kx。

∴|PM|==，|PN |==

∴S_{四边形ONPM}=S_△ONP+S_△OPM=（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）

=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x - (a-b)y]=k

∴k(a+b)x-(a-b)y=2k          ①

又由k_PM= -=， k_PN==，

分别解得a=，b=，代入①式消a、b，并化简得x²-y²=k²+1。

  ∵y>0，∴y=

（2）由0<y<kx，得  0<<kx

       (*)

当k=1时，不等式②为0<2恒成立，∴(*)x>。

当0<k<1时，由不等式②得x²<，x<，∴(*)<x<。

当k>1时，由不等式②得x²>，且<0，∴(*)x>

但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：y<x，将它代入函数解析式，得<x

解得<x< (k>1)，或x∈k（0<k≤1）.

综上：当k=1时，定义域为{x|x>}；

当0<k<1时，定义域为{x|<x<};

当k>1时，定义域为{x|<x<}.