Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；
（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A-PD-Q的余弦值．

Answer 1

分析：解法1：（I）连AQ，设BQ=t，则CQ=a-t，解Rt△ABQ，Rt△CDQ，可求出AQ，DQ（均含参数t），在Rt△ADQ中，由勾股定理，我们可以得到一个关于t和a的方程，进而由基本不等式得到a的取值范围；
（Ⅱ）过Q作QM∥CD交AD于M，过M作MN⊥PD于N，连接NQ，则∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角，解三角形MNQ，即可得到二面角A-PD-Q的余弦值．
解法2：（I）以

AD

、

AB

、

AP

为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，设Q（t，2，0）（t＞0），可得到向量

PQ

，

DQ

的坐标（均含参数t），由PQ⊥QD，可得

PQ

•

DQ

=0，由此可构造一个关于t和a的方程，进而由基本不等式得到a的取值范围；
（II）分别求出平面PQD的法向量和平面PAD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A-PD-Q的余弦值．

解答：解：法1：（Ⅰ）如图，连AQ，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有AQ⊥DQ．（2分）
设BQ=t，则CQ=a-t，
在Rt△ABQ中，有AQ=

t2+4

．
在Rt△CDQ中，有DQ=

(a-t)2+4

．（4分）
在Rt△ADQ中，有AQ²+DQ²=AD²．
即t²+4+（a-t）²+4=a²，即t²-at+4=0．
∴a=t+

4

t

≥4．
故a的取值范围为[4，+∞）．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当t=2，a=4时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD．（8分）
过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．
过M作MN⊥PD于N，连接NQ，则QN⊥PD．
∴∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角．（10分）
在等腰直角三角形PAD中，可求得MN=

2

，又MQ=2，进而NQ=

6

．（12分）
∴cos∠MNQ=

MN

NQ

=

2

6

=

3

3

．
故二面角A-PD-Q的余弦值为

3

3

（14分）

法2：（Ⅰ）以

AD

、

AB

、

AP

为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，
则B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），
P（0，0，4），（2分）
设Q（t，2，0）（t＞0），则

PQ

=（t，2，-4），

DQ

=（t-a，2，0）．（4分）
∵PQ⊥QD，∴

PQ

•

DQ

=t(t-a)+4=0．
即t²-at+4=0．
∴a=t+

4

t

≥4．
故a的取值范围为[4，+∞）．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当t=2，a=4时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．
此时Q（2，2，0），D（4，0，0）．（8分）
设n=（x，y，z）是平面PQD的法向量，
由

n• DP =0 n• DQ =0

，得

-4x+4z=0 -2x+2y=0

．
取z=1，则n=（1，1，1）是平面PQD的一个法向量．（10分）
而

AB

=(0，2，0)是平面PAD的一个法向量，（12分）
由cos＜

AD

，n＞=

AD •n

| AD |•|n|

=

3

3

．
∴二面角A-PD-Q的余弦值为

3

3

．（14分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的，向量语言表述线线的垂直关系，二面角的夹角角及求法，方法一的关键是熟练掌握线线垂直的判定及二面角的平面角的构造方法；方法二的关键是建立空间坐标系，将线线垂直及二面角问题转化为向量夹角问题．