Question

15、对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：
①若f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
②若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；
③若对x∈R，有f（x-1）=-f（x），则f（x）的周期为2；
④函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=0对称．
其中正确命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：对于①，f（x-1）的图象由f（x）的图象向右平移得到；而f（x）是奇函数，它的对称中心是（0，0），从而可得f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；对于②，也可用类似的方法解决；对于f（x-1）=-f（x），则f（x）是周期函数；对于④这样题，可通过取特殊函数来进行对错的判断．

解答：解：依次分析可得，①：f（x-1）的图象由f（x）的图象向右平移一个单位得到，故①②对；
③∵对x∈R，有f（x-1）=-f（x），∴对x∈R，有f（x-2）=f（x），③对；
④若设f（x）=x²，函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象不关于直线x=0对称．
故填：①②③

点评：函数的奇偶性与周期性、对称性往往联系在一起，做题时要综合考虑，取特例法，是解决问题的一种好方法．