Question

若实数x、y同时满足：3x+4y≤12，x+4y≥4，3x+2y≥6，则log₃x+log₃y的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先画出二元一次不等式组表示的平面区域ABC，然后令z=xy＞0 则y=

z

x

，画出函数y=

z

x

的图象，当函数y=

z

x

与AB相切时z最大，从而利用判别式求出z的最值，从而求出log₃x+log₃y的最大值．

解答：解：先画出区域3x+4y≤12，x+4y≥4，3x+2y≥6，
表示图中阴影部分及为三角形ABC
令z=xy＞0 则y=

z

x

画出函数y=

z

x

的图象，当函数y=

z

x

与AB相切时z最大

y= z x 3x+4y=12

即3x+4×

z

x

=12
∴3x²-12x+4z=0只有一个根则144-48z=0
即z=3
∴xy的最大值是3
log₃x+log₃y=log₃xy≤log₃3=1
故答案为：1

点评：本题主要考查了简单线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域，属于中档题．