Question

已知函数f（x）=log₂（4^x+1）+mx．
（Ⅰ）若f（x）是偶函数，求实数m的值；
（Ⅱ）当m＞0时，关于x的方程f（8（log₄x）²+2log₂

1

x

+

4

m

-4）=1在区间[1，2

2

]上恰有两个不同的实数解，求m的范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据f（x）是偶函数，建立方程关系即可求实数m的值；
（Ⅱ）利用对数函数的性质，利用换元法，转化为两个函数的交点问题即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ） 若f（x）是偶函数，则有f（-x）=f（x）恒成立，即：log₂（4^-x+1）-mx=log₂（4^x+1）+mx．
于是2mx=log₂（4^-x+1）-log₂（4^x+1）=log₂（

4x+1

4x

）-log₂（4^x+1）=-2x，
即是2mx=-2x对x∈R恒成立，
故m=-1．
（Ⅱ）当m＞0时，y=log₂（4^x+1），在R上单增，y=mx在R上也单增
所以f（x）=log₂（4^x+1）+mx在R上单增，且f（0）=1，
则f（8（log₄x）²+2log₂

1

x

+

4

m

-4）=1可化为f（8（log₄x）²+2log₂

1

x

+

4

m

-4）=f（0），
又f（x）单增，得8（log₄x）²+2log₂

1

x

+

4

m

-4=0，
换底得8（

log2x

log24

）²-2log₂x+

4

m

-4=0，
即2（log₂x）²-2log₂x+

4

m

-4=0，
令t=log₂x，则t∈[0，

3

2

]，问题转换化为
2t²-2t+

4

m

-4=0在t∈[0，

3

2

]，有两解，
即

4

m

=-2t²+2t+4，
令y=-2t²+2t+4，
则y=-2t²+2t+4=-2（t-

1

2

）²+

9

2

，
∴当t=

1

2

时，函数取得最大值

9

2

，
当t=0时，函数y=4，
当t=

3

2

时，函数取得最小值

5

2

，
若方程f（8（log₄x）²+2log₂

1

x

+

4

m

-4）=1在区间[1，2

2

]上恰有两个不同的实数解，
则等价为4≤

4

m

＜

9

2

，
解得

8

9

＜m≤1，
故求m的范围为

8

9

＜m≤1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数函数的应用，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．