Question

若对于区间［m,n］上有意义的两个函数f(x)与g(x),如果对任意的x∈［m,n］,均有|f(x)-g(x)|≤1,则称f(x)与g(x)在［m,n］上是接近的,否则称f(x)与g(x)在［m,n］上是非接近的 .现有两个函数f₁(x)=log_a(x-3a)与f₂(x)=log_a(a＞0,a≠1),给定区间［a+2,a+3］.

(1)若f₁(x)与f₂(x)在给定区间［a+2,a+3］上都有意义,求a的取值范围;

(2)讨论f₁(x)与f₂(x)在给定区间［a+2,a+3］上是否是接近的.

Answer 1

思路分析：解这类题目先一定要严格把握好题目中给出的新信息，本题中的“若对于区间［m,n］上有意义的两个函数f(x)与g(x),如果对任意的x∈［m,n］,均有|f(x)-g(x)|≤1,则称f(x)与g(x)在［m,n］上是接近的,否则称f(x)与g(x)在［m,n］上是非接近的” 这是定义,然后综合以前所学的知识灵活解题.

解：(1)依题意a＞0,a≠1,a+2-3a＞0,a+2-a＞0,∴0＜a＜1.

(2) |f₁(x)-f₂(x)|=|log_a(x²-4ax+3a²)|.

令|f₁(x)-f₂(x)|≤1,得-1≤log_a(x²-4ax+3a²)≤1,

∵0＜a＜1,又［a+2,a+3］在x=2a的右侧，

∴g(x)=log_a(x²-4ax+3a²)在［a+2,a+3］上为减函数.①

从而g(x)_max=g(a+2)=log_a(4-4a),g(x)_min=g(a+3)=log_a(9-6a),

于是①成立，当且仅当解此不等式组,得0＜a≤.

故当0＜a≤时，f₁(x)与f₂(x)在［a+2,a+3］上是接近的;

当a＞且a≠1时，f₁(x)与f₂(x)在［a+2,a+3］上是非接近的.