Question

对于区间［m,n］上有意义的两个函数f(x)与?g(x),如果对任意的x∈［m,n］,均有|f(x)-g(x)|≤1,则称f(x)与g(x)在［m,n］上是接近的.否则称f(x)与g(x)在［m,n］上是非接近的.现有两个函数f₁(x)=log_a(x-3a)与f₂(x)=log_a(a＞0且a≠1)，给定区间［a+2,a+3］.

（1）若f₁(x)与f₂(x)在给定区间［a+2,a+3］上都有意义，求a的取值范围;

（2）讨论f₁(x)与f₂(x)在给定区间［a+2,a+3］上是否接近的.

Answer 1

解析：（1）由得0＜a＜1.

（2）|f₁(x)-f₂(x)|=|log_a［(x-3a)?(x-a)］|,

令|f₁(x)-f₂(x)|≤1,

得-1≤log_a［(x-3a)(x-a)］≤1.(*)

因为0＜a＜1,所以［a+2,a+3］在直线x=2a的右侧.

所以g(x)=log_a［(x-3a)(x-a)］在［a+2,a+3］上为减函数.

所以g(x)_min=g(a+3)=log_a(9-6a),

g(x)_max=g(a+2)=log_a(4-4a).

于是（*）成立的充要条件是

∴0＜a＜.

所以当a∈（0，）时，f₁(x)与?f₂(x)是接近的;在a∈(,1)∪(1,?+∞)上是非接近的.