Question

（2008•黄浦区一模）（理科）△ABC中，已知∠A=

π

3

，边BC=2

3

，设∠B=x，△ABC的周长为y．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出函数的定义域；
（2）求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由A的度数及设出的B的值，利用三角形的内角和定理求出C的度数，根据C大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为函数的定义域，再由BC=a的值，sinA，sinx，及表示出的sinC的值，利用正弦定理表示出b和c，然后三边相加即可列出y关于x的函数解析式；
（2）把（1）得到的函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并后，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由（1）求出的函数定义域，得出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，进而得到函数f（x）的值域．

解答：解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，且A=

π

3

，B=x，C＞0，
∴C=

2π

3

-x＞0，0＜x＜

2π

3

．
由正弦定理，知

2 3

sin π 3

=

b

sinx

=

c

sin( 2π 3 -x)

，
即

b=4sinx c=4sin( 2π 3 -x)

所以y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)；

（2）由（1）知，
y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)
=6sinx+2

3

cosx+2

3

=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

(

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

)，
由正弦函数的图象知，当

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

时，有

1

2

＜sin(x+

π

6

)≤1．
于是，4

3

＜4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

≤6

3

，
所以，函数y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)的值域是(4

3

，6

3

]．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域及值域，第一问利用正弦定理建立了三角形的边角关系，表示出b和c来解决问题，第二问利用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本问的关键．