Question

3．已知函数f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3，且存在实数x，使f（-x）=-f（x），则实数m的取值范围是$[1-\sqrt{3}，2\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 根据题意可知方程f（-x）=-f（x）有解即可，代入解析式化简后，利用指数函数的性质和换元法化简后，利用分类讨论思想和一元二次函数的图象与性质，分别列出不等式（组），可求出实数m的取值范围．

解答 解：由题意知，方程f（-x）=-f（x）有解即可，
则f（-x）=4^-x-m2^-x+1+m²-3=-（4^x-m2^x+1+m²-3），
化简得，4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0，
即（2^x+2^-x）²-2m?（2^x+2^-x）+2m²-8=0有解即可．
设t=2^x+2^-x，则t=2^x+2^-x≥2，
所以方程等价为t²-2m?t+2m²-8=0在[2，+∞）上有解，
设g（t）=t²-2m?t+2m²-8，对称轴x=$-\frac{-2m}{2}$=m，
①若m≥2，则△=4m²-4（2m²-8）≥0，
即m²≤8，解得$-2\sqrt{2}≤m≤2\sqrt{2}$，
所以$2≤m≤2\sqrt{2}$；
②若m＜2，要使t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2时有解，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{△=4{m}^{2}-4（2{m}^{2}-8）≥0}\\{g（2）=4-4m+2{m}^{2}-8≤0}\end{array}\right.$，解得$1-\sqrt{3}≤m＜2$，
综上，所求实数m的取值范围为$[1-\sqrt{3}，2\sqrt{2}]$，
故答案为：$[1-\sqrt{3}，2\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了方程有解的条件，利用换元法将方程转化为一元二次方程有解的问题，以及指数函数的性质，二次函数的图象和性质，考查化简、变形能力，整体思想和分类讨论思想．