Question

（2003•北京）如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AB=a．
（Ⅰ）求证：直线A₁D⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求点D到平面ACC₁的距离；
（Ⅲ）判断A₁B与平面ADC₁的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证A₁D⊥B₁C₁，由于BC∥B₁C₁，∴只要证A₁D⊥BC，根据点D是正△ABC中BC边的中点，可证AD⊥BC，故问题得证；
（Ⅱ）先作出点D到平面ACC₁的 距离．作DE⊥AC于E，由于平面ACC₁⊥平面ABC，所以DE⊥平面ACC₁于E，即DE的长为点D到平面ACC₁的 距离． 在Rt△ADC中，可求
（Ⅲ）直线A₁B∥平面ADC₁．欲证A₁B∥平面ADC₁．只需证明DF∥A₁B，连接A₁C交AC₁于F，则F为A₁C的中点，因为D是BC的中点，所以DF∥A₁B，利用线面平行的判定定理可证．

解答：解：（Ⅰ）∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，
又A₁A⊥底面ABC，∴A₁D⊥BC，∵BC∥B₁C₁，∴A₁D⊥B₁C₁．
（Ⅱ）作DE⊥AC于E，∵平面ACC₁⊥平面ABC，
∴DE⊥平面ACC₁于E，即DE的长为点D到平面ACC₁的 距离．  
在Rt△ADC中，AC=2CD=a，AD=

3

2

a．
∴所求的距离DE=

CD•AD

AC

=

3

4

a．
（Ⅲ）答：直线A₁B∥平面ADC₁，证明如下：
连接A₁C交AC₁于F，则F为A₁C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A₁B，
又DF?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，∴A₁B∥平面ADC₁．

点评：本题的考点是点、线、面间距离的计算，主要考查点、线、面之间的位置关系，考查点线距离，关键是正确利用线面平行与垂直的判定与性质．