Question

【题目】已知f（x）=2ax﹣ +lnx在x=1与x= 处都取得极值． （Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=x2﹣2mx+m，若对任意的x1∈[ ，2]，总存在x2∈[ ，2]，使得g（x1）≥f（x2）﹣lnx2 ， 求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， ∵ 在x=1与 处都取得极值，
∴f'（1）=0， ，∴ ，解得 ，
当 时， ，
所以函数f（x）在x=1与 处都取得极值．
∴ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数 在 上递减，
∴[f（x）﹣g（x）]min=﹣ + =﹣ ，
又函数g（x）=x2﹣2mx+m图象的对称轴是x=m，
①当 时： ，依题意有 成立，∴ ；
②当 时： ，
∴ ，即6m2﹣6m﹣7≤0，解得： ，
又∵ ，∴ ；
③当m＞2时，g（x）min=g（2）=4﹣3m，∴ ，解得 ，
又 m＞2，∴m∈；
综上： ，
所以，实数m的取值范围为
【解析】（Ⅰ）求导数f′（x），由f（x）在x=1与 处都取得极值，得f'（1）=0， ，得关于a，b的方程组，解出a，b，然后检验；（Ⅱ）对任意的 ，总存在 ，使得g（x1）≥f（x2）﹣lnx2 ， 等价于g（x）min≥[f（x）﹣lnx]min ， 利用函数单调性易求[f（x）﹣lnx]min ， 按照对称轴在区间[ ，2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论可求得g（x）min ， 然后解不等式g（x）min≥[f（x）﹣lnx]min可得答案；
【考点精析】本题主要考查了函数的极值和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握极值反映的是函数在某一点附近的大小情况；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．