Question

【题目】已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；
（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：

由f（x）在R上是增函数，则 即﹣2≤a≤2，则a范围为﹣2≤a≤2；

（2）解：由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，

即x|x﹣a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即 ， ， ，故只要 且 在x∈[1，2]上恒成立即可，

在x∈[1，2]时，只要 的最大值小于a且 的最小值大于a即可，

而当x∈[1，2]时， ， 为增函数， ；

当x∈[1，2]时， ， 为增函数， ，

所以 ；

（3）解：当﹣2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；

则当a∈（2，4]时，由 得x≥a时，f（x）=x2+（2﹣a）x对称轴 ，

则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a时，f（x）=﹣x2+（2+a）x对称轴 ，

则f（x）在 为增函数，此时f（x）的值域为 ，f（x）在 为减函数，此时f（x）的值域为 ；

由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则 ，

即存在a∈（2，4]，使得 即可，令 ，

只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数， ，

故实数t的取值范围为 ；（15分）

同理可求当a∈[﹣4，﹣2）时，t的取值范围为 ；

综上所述，实数t的取值范围为 ．

【解析】（1）由题意知f（x）在R上是增函数，则 即﹣2≤a≤2，则a范围．（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即 ， ， ，故只要 且 在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]时，只要 的最大值小于a且 的最小值大于a即可．由此可知答案．（3）当﹣2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则 ，即存在a∈（2，4]，使得 即可，由此可证出实数t的取值范围为 ．