Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．
（Ⅰ）若xf'（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得，
∴xf′（x）=xlnx+1，
题设xf′（x）≤x²+ax+1等价于lnx﹣x≤a，
令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=．
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；
当x≥1时，g′（x）0，
∴x=1是g（x）的最大值点，
∴g（x）≤g（1）=﹣1．
综上，a的取值范围是[﹣1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1，即lnx﹣x+1≤0；
0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx﹣x+1）≤0；
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x（lnx+-1）≥0
所以（x-1）f（x）≥0