Question

已知椭圆C₁：

x2

4

+y2=1和动圆C2：x2+y2=r2(r＞0)，直线l：y=kx+m与C₁和C₂分别有唯一的公共点A和B．
（I）求r的取值范围；
（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C₂的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
由于l与C₁有唯一的公共点A，故△₁=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=0，
从而m²=1+4k² ①
由

x2+y2=r2 y=kx+m

，得（1+k²）x²+2kmx+m²-r²=0．
由于l与C₂有唯一的公共点B，故△₂=4k²m²-4（1+k²）（m²-r²）=0，
从而m²=r²（1+k²） ②
由①、②得k²=

r2-1

4-r2

．
由k²≥0，得1≤r²＜4，所以r的取值范围是[1，2）．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（Ⅰ）的解答可知
x₁=-

4km

1+4k2

=-

4k

m

，x₂=-

km

1+k2

=-

kr2

m

．
|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=（1+k²）•

k2(4-r2)2

m2

=

1+k2

m2

•k²•（4-r²）²
=

1

r2

•

r2-1

4-r2

•（4-r²）²=

(r2-1)(4-r2)

r2

，
所以|AB|²=5-（r²+

4

r2

）（1≤r＜2）．
因为r²+

4

r2

≥2×2=4，当且仅当r=

2

时取等号，
所以当r=

2

时，|AB|取最大值1，此时C₂的方程为x²+y²=2．