Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆C1：

x2

4

+y2=1和C2：

x2

16

+

y2

4

=1判断C₂与C₁是否相似，如果相似则求出C₂与C₁的相似比，若不相似请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且半短轴长为b的椭圆C_b的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
（3）已知直线l：y=x+1，在椭圆C_b上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆中基本量a、b、c的平方关系结合题中数据，求出椭圆C₁的特征的特征三角形是腰长为2，底边长为

3

的等腰三角形，C₁椭圆C₂的特征的特征三角形是腰长为4，底边长为2

3

的等腰三角形，不难得出两个椭圆是相似比为2的两个椭圆；
（2）类比相似三角形的性质和中心在原点的椭圆的几何特征，可得到①椭圆的面积比的性质；②椭圆中的相似四边形；③两个椭圆公共的割线得到弦的中点重合等几个特征；
（3）先假设存在满足条件的两点M、N，得到由直线l与已知椭圆联列，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合垂直平分的条件，可求得MN中点坐标，再结合这个中点在直线y=x+1上，得到存在直线y=-x-

5

3

，找到符合题的M、N．最后利用一元二次方程根与系数的关系，结合弦长公式：|MN|=

1+k2

|x1-x2 |，可得出函数f（b）=|MN|的解析式．

解答：解：（1）椭圆C₂与C₁相似．
因为C₂的特征三角形是腰长为4，底边长为2

3

的等腰三角形，
而椭圆C₁的特征三角形是腰长为2，底边长为

3

的等腰三角形，
因此两个等腰三角形相似，且相似比为2：1．
根据题中两个椭圆相似的定义可得：椭圆C₂与C₁相似．-------（4分）
（2）∵椭圆C_b与椭圆C₁相似
∴椭圆C_b的长轴是短轴的2倍
∵椭圆C_b的半短轴长为b
∴椭圆C_b的方程为：

x2

4b2

+

y2

b2

=1(b＞0)．------------------------（7分）
由（1）可得两个相似椭圆之间的性质有：
①两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；
②分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；
③两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合，过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比．----（10分）
（3）假定存在满足条件的两点M、N，则设M、N所在直线为y=-x+t，MN中点为（x₀，y₀）．
则

y=-x+t x2 4b2 + y2 b2 =1

⇒5x²-8tx+4（t²-b²）=0．-------------------（12分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得

x1+x2= 8t 5 x1•x2= 4(t2-b2)  5

∴x0=

x1+x2

2

=

4t

5

，y0=-

4t

5

+t=

t

5

结合中点在直线y=x+1上，所以有t=-

5

3

．-------------（16分）
∵|x1-x2|=

( 40 3 )2-20( 100 9 -4b2)

5

=

4

5

5b2- 25 9

∴所求函数的解析式为：
f(b)=|MN|=

2

|x1-x2|=

4

5

10b2- 50 9

(b＞

5

3

)．-------------（18分）

点评：本题以椭圆为例，考查了圆锥曲线的基本性质、直线与圆锥曲线的关系和解析几何与函数之间的联系等知识点，属于中档题．解题过程中用到了“设而不求”的数学思想，避免了繁的化简计算，请同学们加以注意．若不用一元二次方程根与系数关系来解决，则容易因计算太繁而至错．