Question

17．已知函数y=f（x），x∈R是奇函数，其部分图象如图所示，则在（-1，0）上与函数f（x）的单调性相同的是（　　）

• A． $y=x+\frac{1}{x}$
• B． y=log₂|x|
• C． $y=\left\{{\begin{array}{l}{e^x}&{x≥0}\\{{e^{-x}}}&{x＜0}\end{array}}\right.$
• D． y=cos（2x）

Answer 1

分析 根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得y=f（x）在（-1，0）上单调递增，据此依次分析选项中函数在区间（-1，0）上的单调性，即可得答案．

解答 解：根据图象可以判断出（0，1）单调递增，又由函数y=f（x）（x∈R）是奇函数，
则函数y=f（x）在（-1，0）上单调递增，
依次分析选项：
对于A、对于y=x+$\frac{1}{x}$，y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，当-1＜x＜0时，y′＜0，则f（x）在（-1，0）是减函数，不符合题意，
对于B、当-1＜x＜0时，y=log₂|x|=log₂（-x），令t=-x，则y=log₂t，t=-x在（-1，0）为减函数，而y=log₂t为增函数，则y=log₂|x|在（-1，0）是减函数，不符合题意，
对于C、当-1＜x＜0时，y=e^-x=（$\frac{1}{e}$）^x，而0＜$\frac{1}{e}$＜1，则y=e^-x在（-1，0）为减函数，不符合题意，
对于D、y=cos（2x），当-1＜x＜0，则有-2＜2x＜0，y=cos（2x）为增函数，符合题意；
故选：D．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数单调性的判定，利用函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键