Question

已知函数f（x）=|x+a|，g（x）=-|x-3|+1．
（1）解关于x的不等式f（x）+g（x）＞1；
（2）若对?x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）解绝对值不等式的方法有多种，本题可用平方法去掉绝对值，转化为解一元一次不等式，注意讨论字母a
（2）f（x）＞g（x）恒成立?|x+a|+|x-3|＞1恒成立，从而转化为求y=|x+a|+|x-3|的最小值问题，可利用绝对值的几何意义得到此函数的最小值

解答：解：（1）不等式f（x）+g（x）＞1，即|x+a|＞|x-3|，
两边平方得：2（a+3）x＞（3+a）（3-a）
∴当a=-3时，解集为∅
当a＞-3时，解集为(

3-a

2

，+∞)；
当a＜-3时，解集为(-∞，

3-a

2

)
（2）若对任意x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，则|x+a|＞-|x-3|+1对任意实数x恒成立，即|x+a|+|x-3|＞1恒成立，
∵|x+a|+|x-3|≥|a+3|
∴|a+3|＞1，解得a＞-2或a＜-4

点评：本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用等知识，考查了分类讨论和转化的思想方法，属基础题