Question

设m∈Z，函数f(x)=x-2m2+m+3，g(x)=logm+1

x+2

2-x

，且f(

3

5

)＜1．
（1）求m的值，并确定函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数g（x）的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）利用f(

3

5

)＜1，解指数不等式，即可求出m的范围，再根据m∈Z，的到整数m，代入两个函数，判断是否成立，就可求出m的值，并可判断f（x）的奇偶性．
（2）用定义法判断函数g（x）的单调性，先求出函数的定义域，再设函数在定义域上任意两个x₁，x₂，且x₁＜x₂，再作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小即可，作差后一定要将差分解为几个因式的乘积的形式，再判断每一个因式的符号，根据负因式的个数判断积的符号，最后得出结论．

解答：解：（1）由f(

3

5

)＜1，得(

3

5

)-2m2+m+3＜1，
∴-2m²+m+3＞0，解得，-1＜m＜

3

2

，
又∵m∈Z，∴m=0或1
当m=0时，g（x）的底数为1，无意义，舍去．
当m=1时，∴-2m²+m+3=2，f（x）=x²是偶函数．此时g（x）的底数为2，成立
综上所述，m的值为1，f（x）=x²
（2）由（1）知，g(x)=log2

x+2

2-x

，（x≠2）
由

x+2

2-x

＞0，得-2＜x＜2，∴g（x）的定义域为（-2，2）
设-2＜x₁＜x₂＜2，f（x₁）-f（x₂）=log2

x1+2

2-x1

-log2

x2+2

2-x2

=log_a

x1+2

2-x1

•

2-x2

x2+2

=log_a

-x1x2+2x1-2x2+4

4-2x1+2x2-x1x2

∵-2＜x₁＜x₂＜2，∴0＜-x₁x₂+2x₁-2x₂+4＜4-2x₁+2x₂-x₁x₂⇒

-x1x2+2x1-2x2+4

4-2x1+2x2-x1x2

＜1
∴log_a

-x1x2+2x1-2x2+4

4-2x1+2x2-x1x2

＜0
∴函数g（x）在（-2，2）上为增函数．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，属于概念考查题．