Question

已知幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g(x)=

1

4

f(x)+ax3+

9

2

x2-b(x∈R)，其中a，b∈R．若函数g（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，结合幂函数的性质得出-m²+2m+3＞0，据此求得m的值，从而得到函数f（x）的解析式．
（2）先求导数：g'（x）=x（x²+3ax+9），为使g（x）仅在x=0处有极值，必须x²+3ax+9≥0恒成立，再利用二次函数的根的判断式即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，
∴-m²+2m+3＞0即m²-2m-3＜0∴-1＜m＜3，又m∈z，∴m=0，1，2
而m=0，2时，f（x）=x³不是偶函数，m=1时，f（x）=x⁴是偶函数，∴f（x）=x⁴．
（2）g'（x）=x（x²+3ax+9），显然x=0不是方程x²+3ax+9=0的根．
为使g（x）仅在x=0处有极值，必须x²+3ax+9≥0恒成立，
即有△=9a²-36≤0，解不等式，得a∈[-2，2]．
这时，g（0）=-b是唯一极值．∴a∈[-2，2]．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．