Question

15．如图①所示，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，且AD=$\frac{1}{3}$BC=a，∠BAD=135°，AE⊥BC于点E，F为BE的中点．将△ABE沿着AE折起至△AB′E的位置，得到如图②所示的四棱锥B′-ADCE．
（1）求证：AF∥平面B′CD；
（2）若平面AB′E⊥平面AECD，求二面角B′-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取B′C的中点G，连接FG，DG，推导出四边形ADGF为平行四边形，从而AF∥DG，由此能证明AF∥平面B′CD．
（2）以点E为原点，EB′为x轴，EC为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B′-CD-E的余弦值．

解答 证明：（1）取B′C的中点G，连接FG，DG．
∵F为B′E的中点，
∴FG∥EC，且FG=$\frac{1}{2}$EC，…（2分）
∵图①中四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，
且AD=$\frac{1}{3}BC=a$，AE⊥BC，∠BAD=135°，
∴EC=2a，AD∥EC，AD=$\frac{1}{2}$EC，
∴AD∥FG，AD=FG，
∴四边形ADGF为平行四边形，∴AF∥DG，…（5分）
∵AF?平面B′CD，DG?平面B′CD，
∴AF∥平面B′CD．…（6分）
（2）由题意得EA，EB′，EC两两垂直，故以点E为原点，EB′为x轴，EC为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，
∴B′（a，0，0），D（0，a，a），C（0，2a，0），
∴$\overrightarrow{{B}^{'}C}$=（-a，2a，0），$\overrightarrow{CD}$=（0，-a，a），设平面B′CD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{B}^{'}C}•\overrightarrow{n}=-ax+2ay=0}\\{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}=-ay+az=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，1），…（10分）
由题意$\overrightarrow{E{{B}^{'}}_{\;}}$=（a，0，0）为平面AECD的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{E{B}^{'}}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2a}{a\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，…（11分）
由图知平面B′CD与平面AECD所成的二面角为锐角，
∴二面角B′-CD-E的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．