Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=，
（Ⅰ）若方程f（x）=x的解称为函数y=f（x）的不动点，求a_n+1=f（a_n）的不动点的值；
（Ⅱ）若a₁=2，b_n=，求证：数列{lnb_n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项；
（Ⅲ）当任意n∈N*时，求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜。

Answer 1

解：（Ⅰ）由方程a_n+1=f（a_n）得a_n=，
解得a_n=0，或a_n=-1，或a_n=1；
（Ⅱ）∵a_n+1+1=+1=，
a_n+1-1=-1=，
∴两式相除得，即b_n+1=b_n³，
由a₁=2可以得到b_n＞0，
则lnb_n+1=3lnb_n，
又b₁=，
得lnb₁=-ln3，
∴数列{lnb_n}是以-ln3为首项，3为公比的等比数列，
∴lnb_n=（-ln3）·3^n-1=，
从而b_n=（n∈N*）。
（Ⅲ）证明：任意n∈N*，3^n-1≥n，
∴b_n=≤，
从而b₁+b₂+b₃+…+b_n＜+（）²+（）³+…+（）ⁿ
=。