Question

己知直线l的斜率为k，它与抛物线y²=4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则|k|=（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：设出直线方程，把直线方程和抛物线方程联立后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，由代入坐标整理后得到直线的斜率与截距间的关系，由两个向量的模相等，结合抛物线定义可求出两个交点横坐标的具体值，代入两根和的关系式得到直线的斜率与截距的另一关系式，解方程组可求解k的值．
解答：解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），与抛物线y²=4x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立，得k²x²+（2km-4）x+m²=0．
所以△=（2km-4）²-4k²m²=16-16km＞0，即km＜1．
，．
由y²=4x得其焦点F（1，0）．
由，得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂）．
所以，
由①得，x₁+2x₂=3 ③
由②得，．
所以m=-k．
再由，得，
所以x₁+1=2（x₂+1），即x₁-2x₂=1④
联立③④得．
所以=．
把m=-k代入得，解得，满足mk=-8＜1．
所以．
故选A．
点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答的关键是利用向量关系得到两个交点A，B的坐标的关系，同时灵活运用了抛物线的定义，属中高档题．