Question

如图，矩形ABCD中，DC=

3

，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D'点，当D'在平面ABC上的射影落在AE上时，四棱锥D'-ABCE的体积是

2 6 - 2

12

；当D'在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D'-AE-B的平面角的余弦值是

2-

3

．

Answer 1

分析：求四棱锥D'-ABCE的体积，关键是求底面积与高，利用在Rt△D′AE中，AD=1，DE=1，可求高，从而体积易求；二面角D'-AE-B的平面角通过添加辅助线，寻找二面角的平面角，从而可求．

解答：解：当D'在平面ABC上的射影落在AE上时，不妨设垂足为F，
在Rt△D′AE中，AD=1，DE=1，∴D/F=

2

2

∵SABCE =

3

-

1

2

∴四棱锥D'-ABCE的体积是

1

3

×(

3

-

1

2

)×

2

2

=

2 6 - 2

12

当D'在平面ABC上的射影落在AC上时，不妨设垂足为O，，取AE得中点M，连接OM，则D′M⊥AE
∴∠D′MO为二面角D'-AE-B的平面角．
在△OMD′中，OM=

2

-

6

2

， D/M=

2

2

，
∴cos∠OMD/=2-

3

故答案为

2 6 - 2

12

， 2-

3

点评：本题的考点与二面角有关的立体几何综合问题，主要考查二面角的计算，考查几何体的体积，关键是正确得出二面角的平面角，有一定的综合性．