Question

A 若方程a^x-x-a=0有两个实数解，则a的取值范围是

（1，+∞）

B 如图，矩形ABCD中边长AB=2，BC=1，E为BC的中点，若F为正方形内（含边界）任意一点，则

AE

•

AF

的最大值为

9

2

．

Answer 1

分析：A：方程a^x-x-a=0变形为：方程a^x=x+a，由题意得，函数y=a^x与函数y=a+x 有两个不同的交点，结合图象得出结果．
B：解：分别以AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则由E（2，

1

2

），C（2，1），设F（x，y）可求

AE

•

AF

=2x+

1

2

y，令z=2x+

1

2

y，则y=-4x+2z，2z为目标函数所对应的直线在y轴上的截距，截距越大，z越大，利用线性规划的知识可求

解答：解A：方程a^x-x-a=0变形为：方程a^x=x+a，
由题意得，方程a^x-x-a=0有两个不同的实数解，
即函数y=a^x与函数y=a+x 有两个不同的交点，
y=a^x的图象过定点（0，1），直线y=x+a 的图象过定点（0，a），如图所示：
故直线y=x+a 在y轴上的截距大于1时，函数y=a^x与函数y=a+x 有两个不同的交点
故答案为（1，+∞）

解B：分别以AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则E（2，

1

2

），C（2，1），设F（x，y）
∴

AE

=(2，

1

2

)，

AF

=(x，y)
所以

AE

•

AF

=2x+

1

2

y
令z=2x+

1

2

y，则y=-4x+2z，2z为目标函数所对应的直线在y轴上的截距，截距越大，z越大
x，y满足的区域即矩形ABCD内及边界
结合线性规划的知识可得，当点F在C（2，1）处时，z最大，此时：z=2×2+

1

2

=

9

2

故答案为：

9

2

点评：本题A主要考查了指数函数与一次函数的图象来解决方程根的问题，体现了数形结合思想的应用
B主要考查向量的数量积的应用，线性规划知识的应用，体现了转化与化规思想的应用．