Question

10．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的右焦点为${F_2}（{\sqrt{3}，0}）$，离心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同的两点 M，N，若 OM⊥ON（ O为坐标原点），证明：点 O到直线l的距离为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （I）利用椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的右焦点为${F_2}（{\sqrt{3}，0}）$，离心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，c，b，即可求椭圆C的方程；
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及点到直线的距离公式，即可得到结论．

解答 （I）解：∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的右焦点为${F_2}（{\sqrt{3}，0}）$，离心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴a=2，∴b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（II）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线MN的方程y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$
∵OM⊥ON，∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$-km×$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$+m²=0
∴5m²=4（k²+1）
∴原点O到直线的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
综上，点O到直线AB的距离为定值，定值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的综合，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．