Question

【题目】已知不等式（，且）对任意实数恒成立，则的最大值为____________.

Answer 1

【答案】.

【解析】

令f（x）＝x﹣3lnx+1﹣mlnx﹣n，利用导数可得当x＝m+3（m+3＞0）时，f（x）有最小值，则f（m+3）＝m+3﹣3ln（m+3）+1﹣mln（m+3）﹣n≥0，即n﹣3≤m+4﹣（m+3）ln（m+3），≤，令g（x）＝，利用导数求其最大值得答案．

解：令f（x）＝x﹣3lnx+1﹣mlnx﹣n，

则f′（x）＝1﹣（x＞0），

若m+3＜0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，由当x→0时，f（x）→﹣∞，不合题意；

∴m+3＞0，由f′（x）＝0，得x＝m+3，

当x∈（0，m+3）时，f′（x）＜0，当x∈（m+3，+∞）时，f′（x）＞0，

∴当x＝m+3时，f（x）有最小值，则f（m+3）＝m+3﹣3ln（m+3）+1﹣mln（m+3）﹣n≥0，

即n﹣3≤m+4﹣（m+3）ln（m+3），

≤，

令g（x）＝，

则g′（x）＝．

当x∈（﹣3，﹣1）时，g′（x）＞0，当x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＜0，

∴当x＝﹣1时，g（x）有最大值为﹣ln2．

即的最大值为﹣ln2．

故答案为：.