Question

（2011•武昌区模拟）已知正实数数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3对于一切n∈N^*成立．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=

2an-1

，Tn为数列{

an

bn

}的前n项和，求使T_n＜c恒成立的最小正整数c．

Answer 1

分析：（I）先求出数列的首项，然后根据当n≥2时，4S_n=a_n²+2a_n-3，则4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1-3，作差化简可得正数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，从而可求出其通项公式；
（II）根据数列{

an

bn

}通项公式的特点可知利用错位相消法进行求和，从而可求出使T_n＜c恒成立的最小正整数．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当n=1时，4S₁=a₁²+2a₁-3=4a₁，得a₁²-2a₁-3=0，
a₁=3或a₁=-1，由条件a_n＞0，所以a₁=3．       …（2分）
当n≥2时，4S_n=a_n²+2a_n-3，则4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1-3
则4S_n-4S_n-1=a_n²+2a_n-3-（a_n-1²+2a_n-1-3），
所以4a_n=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（4分）
由条件a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=2，…（5分）
故正数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，所以a_n=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）bn=

2an-1

=

22n+1-1

=2n，

an

bn

=

2n+1

2n

，…（7分）
∴T_n=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

．…①
将上式两边同乘以

1

2

，得

1

2

T_n=

3

22

+

5

23

+…

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

…②…（8分）
①-②，得∴

1

2

T_n=

3

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n+1

2n+1

=

5

2

-

2n+5

2n+1

．
所以T_n=5-

2n+5

2n

＜5．…（10分）
又T₁=

3

2

，T₂=

11

4

，T₃=

29

8

，T₄=

77

16

＞4．  …（11分）
若T_n=5-

2n+5

2n

＜c恒成立，
∴使T_n＜c恒成立的最小正整数c是5． …（13分）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及利用错位相消法进行求和，同时考查了数列与不等式的综合和计算能力，属于中档题．