Question

直线l与椭圆+=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且椭圆的离心离e=,又椭圆经过点(,1),O为坐标原点.

(1)求椭圆的方程.

(2)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

 

Answer 1

(1) +x2=1. (2) 定值.理由见解析

【解析】(1)∵∴a=2,b=1,

∴椭圆的方程为+x2=1.

(2)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,

由已知m·n=0,得4-=0⇒=4,

又A(x1,y1)在椭圆上,

所以+=1⇒|x1|=,|y1|=,

S△AOB=|x1||y1-y2|=|x1|·2|y1|=1,三角形的面积为定值.

②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+t,

由⇒(k2+4)x2+2ktx+t2-4=0,必须Δ>0,即4k2t2-4(k2+4)(t2-4)>0,

得到x1+x2=,x1x2=,

∵m⊥n,∴4x1x2+y1y2=0?4x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,代入整理得:2t2-k2=4,

S=×|AB|=|t|===1,

所以三角形的面积为定值.