Question

8．正四棱锥O-ABCD的体积为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，底面边长为$\sqrt{3}$，求正四棱锥O-ABCD的内切球的表面积$（4-\sqrt{7}）π$．

Answer 1

分析 利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O-ABCD的高，可得斜高，利用等体积法求出正四棱锥O-ABCD的内切球的半径，根据球的表面积公式计算即得结论．

解答 解：正四棱锥O-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}$Sh=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$×h=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴h=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴斜高为$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
设正四棱锥O-ABCD的内切球的半径为r，则
$\frac{1}{3}$×（$\sqrt{3}×\sqrt{3}$+4×$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{21}}{2}$）r=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴r=$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{7}-1）}{4}$
∴正四棱锥O-ABCD的内切球的表面积为4πr²=$（4-\sqrt{7}）π$．
故答案为：$（4-\sqrt{7}）π$．

点评 本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属中档题．