Question

20．已知函数y=f（x+1）是定义域为R的偶函数，且f（x）在[1，+∞）上单调递减，则不等式f（2x-1）＞f（x+2）的解集为（$\frac{1}{3}$，3）．

Answer 1

分析 根据y=f（x+1）是定义域为R的偶函数，得到y=f（x+1）的对称轴为y轴，进而确定出f（x）的对称轴，利用函数增减性求出所求不等式的解集即可．

解答 解：∵函数y=f（x+1）是定义域为R的偶函数，
∴y=f（x+1）关于y轴对称，
∴y=f（x）向左平移1个单位得到y=f（x+1），
∴y=f（x）关于直线x=1对称，
∵f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（2x-1）＞f（x+2），
∴f（x）在（-∞，1]上单调递增，
∴|2x-1-1|＜|x+2-1|，即（2x-2）²＜（x+1）²，
整理得：3x²-10x+3＜0，即（3x-1）（x-3）＜0，
解得：$\frac{1}{3}$＜x＜3，
则不等式f（2x-1）＞f（x+2）的解集为（$\frac{1}{3}$，3）．
故答案为：（$\frac{1}{3}$，3）

点评 此题考查了奇偶性与单调性的综合，熟练掌握函数的奇偶性与单调性是解本题的关键．