Question

已知点A,B分别是射线l₁:y=x(x≥0),l₂:y=-x(x≥0)上的动点,O为坐标原点,且△OAB的面积为定值2.

(1)求线段AB中点M的轨迹C的方程;

(2)过点N(0,2)作直线l,与曲线C交于不同的两点P,Q,与射线l₁,l₂分别交于点R,S,若点P,Q恰为线段RS的两个三等分点,求此时直线l的方程.

Answer 1

解:(1)由题意可设A(x₁,x₁),B(x₂,-x₂),M(x,y),其中x₁＞0,x₂＞0,

则    

∵△OAB的面积为定值2,

∴S_△OAB=|OA|·|OB|=(x₁)(x₂)=x₁x₂=2.

①²-②²,消去x₁,x₂,得x²-y²=2.

由于x₁＞0,x₂＞0,∴x＞0.

∴点M的轨迹方程为x²-y²=2(x＞0).

(2)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2.

由消去y得(1-k²)x²-4kx-6=0,

设点P、Q、R、S的横坐标分别是x_P、x_Q、x_R、x_S,

∴由x_P,x_Q＞0得0.

解之,得-＜k＜-1.

∴|x_P-x_Q|=.

由消去y,得x_R=,

由消去y,得x_S=,

∴|x_R-x_S|=.

由于P,Q为RS的三等分点,∴|x_R-x_S|=3|x_P-x_Q|.

解之,得k=.

经检验,此时P,Q恰为RS的三等分点,故所求直线方程为y=x+2.