Question

1+log₂x=2log₂（x-a）恰有一个实数解，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：首先化简1+log₂x=2log₂（x-a），可得log₂2x=2log₂（x-a），所以

x＞0 x-a＞0 x-a= 2x

；然后根据关于x的二元一次方程恰有一个实数解，可得直线y=x-a与曲线y=

2x

在平面直角坐标系中有且只有一个交点，分别画出直线y=x-a与曲线y=

2x

的图象，判断出a的取值范围即可．

解答： 解：由1+log₂x=2log₂（x-a），
可得log₂2x=2log₂（x-a），
所以

x＞0 x-a＞0 x-a= 2x

；
因为关于x的二元一次方程恰有一个实数解，
所以直线y=x-a与曲线y=

2x

在平面直角坐标系中有且只有一个交点，
①当直线y=x-a与曲线y=

2x

相切时，
由x-a=

2x

，可得x²-2（a+1）x+a²=0，
△=0，可得4（a+1）²-4a²=0，
解得a=-

1

2

；
②根据图象，可得当-a≤0，即a≥0时，直线y=x-a与曲线y=

2x

恒有一个交点，
综上，a的取值范围为：a≥0或a=-

1

2

．
故答案为：a≥0或a=-

1

2

．

点评：本题主要考查了根的存在性以及根的个数的判断，考查了数形结合的运用，属于中档题，解答此题的关键是分析出直线y=x-a与曲线y=

2x

在平面直角坐标系中有且只有一个交点，并分别画出它们的图象．